ُSignalche Forum

---

هندسه نااقليدسي


علم هندسه مانند همه ي علوم ديگر از مشاهده و تجربه ناشي شده و ارتباط جدي با احتياجات اقتصادي بشر دارد. کلمه ي «هندسه» يک کلمه ي يوناني و به معني مساحي(اندازه ي زمين) است. هندسه و مفاهيم آن از طرفي زاييده ي تجربه و احتياج بشرند و از طرف ديگر درستي آن باز هم در صحنه ي علوم علمي مورد آزمايش و استفاده قرار مي گيرد.

الف) مقدمه «هندسه بهترين و ساده ترين منطق ها و مناسب ترين طريق پايدار ساختن انديشه هاست.» «دکتر فضل الله رضا» علم هندسه مانند همه ي علوم ديگر از مشاهده و تجربه ناشي شده و ارتباط جدي با احتياجات اقتصادي بشر دارد. کلمه ي «هندسه» يک کلمه ي يوناني و به معني مساحي(اندازه ي زمين) است. هندسه و مفاهيم آن از طرفي زاييده ي تجربه و احتياج بشرند و از طرف ديگر درستي آن باز هم در صحنه ي علوم علمي مورد آزمايش و استفاده قرار مي گيرد. باور مردم از زمان يونانيان باستان تا قرن نوزدهم اين بود که هندسه ي اقليدسي، حقيقت محض و بي کاستي است که فضاي مادي را بطور کامل توجيه مي کند. حتي کانت اعتقاد داشت که هندسه ي اقليدسي، ذاتي ساختار ذهن انسان است…اما هندسه دانهاي قرن نوزدهم نشان دادند که اولا هندسه ي اقليدسي تنها هندسه ي ممکن نيست، ثانيا اين که هندسه فضاي مادي اقليدسي يا نا اقليدسي است، امري تجربي است که خارج از حيطه ي رياضيات محض مي باشد و ثالثا هندسه ي اقليدسي سازگارتر است، اگر و فقط اگر هندسه ي نااقليدسي سازگار باشد يعني اين دو هندسه به بياني نادقيق«به يک نسبت درستند.»


ب) تاريخچه ي پيدايش هندسه ي نااقليدسي در حدود سيصد سال قبل از ميلاد، اقليدس کتاب «مقدمات» خود را به رشته ي تحرير در آورد، او بر اساس پنچ اصل موضوع و تعدادي اصطلاح اوليه تمام هندسه ي شناخته شده تا زمان خود را بصورت دستگاهمند و به روش اصل موضوعي در کتابش ذکر کرد. يکي از اصل هاي اقليدس که بيشتر از همه توجه رياضيدانان را بخود جلب کرد، اصل پنجم اين کتاب بود. اقليدس اين اصل را که به «اصل توازي» معروف شده است اين طور بيان مي دارد: «اگر خطي دو خط را چنان قطع کند که مجموع زواياي داخلي کتر از دو قائمه باشد، آن گاه دو خط همديگر را در همان طرف قطع مي کنند.» که بعدها معادل آن يعني:«از هر نقطه خارج يک خط راست، تنها يک خط راست موازي با آن خط و در همان صفحه ي مفروض ميتوان رسم کرد.» تنظيم شد. تلاش براي اثبات اين اصل براساس چهار اصل ديگربه بيش از بيست قرن انجاميد و در اين مدت بنظر مي رسيد که هندسه با بن بست مواجه شده است. در واقع از همان زمان که کتاب مقدمات اقليدس نوشته شد، بحث و تفسير درباره ي آن آغاز گشت، اين بحث ها از دو جهت بود:

يك ) برطرف کردن ابهام هايي که در«تعريف ها»، «اصل ها» و «قضيه ها» وجود داشت

دو ) بحث درباره ي اصل توازي اما با وجود اينکه دانشمندان براي اثبات دقيق اين اصل با عدم موفقيت هاي فراوان مواجه شده بودند، باز هم دست از کوشش بر نداشتند دليل آن اين بود که علماي هندسه اعتقاد داشتند که بدون روشن کردن موقعيت اين اصل نمي توان ساختمان هندسه را بطور دقيق و کامل انجام داد، اين تلاش ها سرانجام به کشف هندسه هاي نااقليدسي منجر شد. مي گويند

اولين کسي که به استقلال اصل پنجم يا به گفته ي کايزر «مشهورترين تک سخن در تاريخ علم» شک کرد، خود اقليدس بود. بعد از او بطلميوس (حدود سال پيش از ميلاد) براي اثبات آن برخاست. پرودوکلوس نيز در قرن پنجم شرحي بر کتاب اصول نوشت و ضمن نشان دادن اشتباه برهان هاي قبلي، تلاش کرد تا اثباتي در اين زمينه ارائه کند. بعد از آن شاهد اثبات هاي ديگري بوديم که هيچ يک به نتيجه ي مطلوب نرسيدند.

از جمله دانشمندان ايراني که براي اثبات اين اصل تلاش کرد ميتوان به خيام، خواجه نصير الدين طوسي، نيريزي و ابن هيثم اشاره نمود. خيام در مقاله ي اول کتاب خود با نام«شرح ما اشکل من مصادرات کتاب اقليدس» به مساله ي اصل توازي پرداخت. او ميگويد:«اشتباه دانشمندان سابق در اين است که بنيان هاي فلسفي را در نظر نمي گيرند…». او که سخت طرفدار عقايد کانت بود منظور از عقايد فلسفي را همان عقايد کانت ميداند و بدان اشاره مي کند. دانشمندان اروپايي نيز براي اثبات اين اصل تلاش هاي در خور توجهي کردند کساني همانند: جان واليس و جيرولاموساکري. ساکري در کتابي با عنوان «اقليدس مبرا از هر نقص» را ارائه کرد که در آن براي اثبات اصل پنجم که بيشتر به يک قضيه شبيه بود تا اصل، از روش برهان خلف استفاده کرد و سعي کرد تا به تناقض برسد، اما در واقع او هرگز به تناقضي نرسيد. شايد اگر ساکري ميدانست که به اين دليل ساده به تناقض نمي سد که اصلا تناقضي در کار نيست،

کشف هندسه هاي اقليدسي نزديک به يک قرن زودتر صورت مي پذيرفت. اندکي بعد و در قرن و در آلمان لامبرت مانند ساکري با استفاده از برهان خلف سعي کرد اصل توازي را اثبات کند اما او نيز به تناقضي نرسيد و در رده ي اثبات کننده گان ناکام اين اصل قرار گرفت. چنين مي نمايد که وي دريافته بود که دلايل عليه بيشتر پي آمد سنت ها و احساسات بودند. او معتقد بود اين دلايل از نوعي بودند که بايستي به يکباره از عرصه ي هندسه و نيز از ميدان هر علمي بيرون رانده شود.

پژوهش هاي او درباره ي نظريه ي توازي بوسيله ي رساله اي از آدرين لژاندر طي سال ها کار روي اصل توازي، به مجموعه اي از اثبات هاي اشتباه دست يافت که از آن ها در کلاس هندسه اش استفاده ميکرد اما دو گزاره ي مهم که لژاندر ثابت کرد پايه گذار «هندسه ي مطلق» (يعني هندسه ي مبتني بر چهار اصل اول) بود. اصل توازي آن چنان ذهن او را به خود معطوف داشته بود که طي سال چند بار اصول هندسه اش را تجديد چاپ کرد و هر بار يکي از کوشش هاي تازه اش در مورد اصل توازي را در آن ارج نمود. ئوس اولين شخصي بود که بطور کامل موفق به درک هندسه ي نااقليدسي شد يعني همان چيزي که ارستو قرن ها قبل بوجود آمدن آن را پيش بيني کرده بود، ارستو مينويسد:« ذات مثلث نهفته در مجموع زاويه هاي آن است اين مجموع ميتواند برابر با دو زاويه ي قائمه، بزرگتر و يا کوچکتر از آن باشد و اين در واقع، به زبان امروزي، مرزي است که سه گونه هندسه يعني

«هندسه ي اقليدسي»

«هندسه ي لباچفسکي»

«هندسه ي ريماني»

را از هم جدا مي کند گئوس در نامه اي به يکي از دوستانش به نام فوکوش بويويي نوشت:«راه من، تو و امثال ما براي اثبات اصل توازي راهي بي پايان است و موفقيتي در اين کار نصيبمان نخواهد شد، حتي مطالعات من باعث شک در مورد حقيقت خود هندسه شده است» در اين زمان لباچفسکي شش ساله بود و فيلسوفاني مانند کانت اجتماع را تحت الشعاع خود قرار داده بودند از طرفي گئوس نيز به دليل موقعيت اجتماعي خود از رو دررويي با صاحب نظران اجتناب ميکرد، ظاهرا او ميترسيد که مطالبش را نفهمند و انتقادش کنند خود او ميگويد:«از آن مي ترسم که هرکس که نشان داده است فکر رياضي باوري دارد، آن چه را که من ميگويم بد بفهمد بلکه آن را مانند يک القاي خصوصي در نظر ميگيريم که به هيچ روي به اطلاع مردم نرسد و براي عموم منتشر نشود» عده اي نيز علت چاپ نکردن آثارش را اولا عقايد ماترياليستي اش و ديگري کج فهمي هاي روسيه ي تزاري ميدانند به هر حال تصور گئوس در مورد منتشر ساختن نتايج کارش سبب شد که سهمي از افتخاري که تمامش ممکن بود از آن او باشد نصيب ديگران شود گئوس هندسه ي جديدي را که بدان پي برده بود هندسه ي نااقليدسي ناميد و در نامه اي به دوست رياضيدانش تاور بنوس نوشت:«همه ي تلاش هاي من براي يافتن يک تناقض يا ناسازگاري از اين هندسه ي نااقليدسي به شگفت انجاميده است

من گاهي به شوخي آرزو مي کنم که اي کاش هندسه ي اقليدسي راست نبود، چون در آن صورت ما از پيش انگاره ي مطلقي براي اندازه گيري داشتيم» يانوش بويويي پسر فوکوش نيز براي اثبات اصل پنجم تلاش مي کرد و پدرش همواره به او ميگفت: «تو ديگر نبايد براي گام نهادن در راه توازي ها تلاش کني، من پيچ و خم هاي اين راه را از اول تا به آخر ميشناسم اين شب بي پايان همه ي روشنايي و شادماني زندگي مرا به کام نابودي فروبرده است، التماس مي کنم دانش موازي ها را رها کني» اما يانوش جوان از اخطار پدرش نهراسيد چرا که انديشه هاي ديگري را در اين رابطه در ذهنش ميپروراند سال ها بعد در نامه اي به پدرش نوشت: « من چيزهاي بسيار شگفت انگيزي کشف کرده ام که مرا متحير ساخته است…من از هيچ دنياي عجيبي خلق کرده ام» پدر يانوش او را به تسريع در اعلام کشفي که کرده بود وادار ميکرد و به او ميگفت:« به نظر من عاقلانه است که اگر تو به حل مساله ايي دست يافته اي در انتشار آن به دو دليل شتاب کني نخست آنکه انديشه هايت ممکن است به آساني به ديگري القا شود و به انتشار آن دست بزند و دوم به دليل اين که بنظر مي رسد که بسياري چيزها در يک زمان،

در چند جا با هم کشف شده اند» عقيده ي پدر يانوش درست بود زيرا همين اتفاق نيز افتاد که تقريبا در يک زمان و مستقل از يکديگر هندسه هايي که از جنبه منطقي سازگار بودند و در آن ها اصل پنجم انکار شده بود، بوسيله ي گائوس در آلمان، بويايي در مجارستان و لباچفسکي در روسيه کشف شد بعد از اينکه پدر يانوش با خوشحالي براي گائوس نتايج کار پسرش را نوشت گائوس جواب نامه ي او را چنين آغاز کرد:«اگر با اين عبارت آغاز کنم که ياراي تمجيد از چنين کاري را ندارم البته براي يک لحظه دچار شگفتي خواهيد شد ولي کاري به جز اين نمي توانم بکنم، تمجيد از آن به منزله ي تمجيد از خودم است» اما يانوش بويويي ساله نتيجه ي تحقيات خود را در همان سال ها در ضميه ي صفحه اي کتاب تنتامن موسوم به Appendix چاپ کرد نيکلاي لباچفسکي در همان زمان در دانشگاه غازان روسيه سخنراني ايراد کرد، او معقد بود که اگر نتوانيم از ساير اصول هندسي اصل توازي را اثبات کنيم بايد به فکر مجموعه اصول ديگري براي هندسه باشيم، اصولي که در دنياي واقعي حضور دارند که ضمن آن شالوده ي هندسه ي هذلولي را ارايه نمود ولي متن سخنراني دزديده شد او در محتوي کامل هندسه هذلولي را در نشريه دانشگاهي اي که به زبان روسي بود، نوشت که يازده سال بعد به آلماني ترجمه شد لباچفسکي بيان کرد که از هر نقطه خارج يک خط مي توان لااقل دو خط در همان صفحه و به موازات آن خط رسم کرد او هندسه اش را در آغاز «هندسه ي انگاري» و سپس «هندسه ي عام» نام گذارد ما نيز امروزه به هندسه او هندسه ي هذلولي مي گوييم هر چند پس از فرض اين هندسه بنظر مي رسيد که وي در ادامه به تناقض هاي بسياري خواهد رسيد اما توانست براساس همين فرض و مفروضات قبلي اقليدس به مجموعه جديد از اصول هندسي برسد که حاوي هيچ گونه تناقضي نباشد او پايه هاي هندسه اي را بنا نهاد که بعدها کمک بسيار زيادي به فيزيک و مکانيک غير نيوتني نمود لوباچفسکي علنا با تعليمات و عقايد کانت درباره ي فضا به مثابه شهود ذهني به مبارزه پرداخت در واقع لباچفسکي با متزلزل ساختن «خلل پذيري» اصول اقليدس ضربه ي سنگيني به فلسفهي کانت وارد ساخت کانت معتقد بود که بررسي حقايق هندسه نتيجه ي تجربه ي انسان نيست بلکه اشکال ذاتي و غير قابل تغيير شناخت انساني هستند و براي اين نظر خود از خلل پذيري اصول هندسه ي اقليدسي بعنوان نقطه ي اتکاي اساسي استفاده مي کرد و بدين صورت بود که لباچفسکي و بويويي هر دو و بطور مستقل پايه گذار هندسه ي هذلولي شدند هندسه اي که در آن نقيض اصل توازي را بجاي اصل موضوع مفروض ميگيريم اين امر هندسه ي حيرت انگيزي را منجر مي شود که با هندسه ي اقليدسي تفاوت اساسي دارد به قول گائوس قضاياي اين هندسه به باطلنما مي مانند و شايد در نظر فردي مبتدي بي معني جلوه کنند، ولي تفکر پي گير و آرام آشکار مي سازد که هيچ چيز ناممکن در آن نيست کشف هندسه ي نااقليدسي درک هندسه دان ها را به کلي دگرگون کرد همين حقيقت که هندسه ي نااقليدسي کامل و بدون تناقض است،

اعتماد چند صد ساله را نسبت به کلمات «واضح است»، «به نظر مي رسد» را از بين برد، کلماتي که تکيه کلام هاي هندسه دان هاي قديم بود تحليل اصل اقليدس که قرن ها طول کشيده بود استحکام نتايج هندسه ي مقدماتي را به کلي متزلزل کرد،

اين تحليل روشن کرد که بين آن حقايق هندسه که گمان ميرفت ارتباطي با يکديگر ندارند، چه ارتباط عميقي وجود دارد و در نتيجه روابط فضايي در جهان مادي به نحوي نمايان شد به اين ترتيب، دستگاه اصول و تعاريف اقليدس بعنوان پايه اي براي ساختمان هندسه غير کافي بود در دنياي افکار و ايده آل هاي جديد، ديگر اين تعاريف و اصول مطلقا ناقص بودند و نمي توانسنتد پيشرفت هاي علوم دقيقه(فيزيک، نجوم و…) را تامين نمايند. برنهارد ريمان که رساله ي دکتريش را تحت راهنمايي گئوس به نگارش در آورد در يک سخنراني در ژوئن مفهوم هندسه را در رياضي کاملا تغيير داد. او هندسه را ساختاري متريک تلقي کرد، همچنين وي اساس هندسه اي بيضوي را که در آن خط موازي وجود ندارد را تدوين کرد. او توانست با تعريف خميدگي و انحناي فضا تقسيم بندي اي را براي اوناع سه هندسه بيان کند، او فرض را بر اين گرفت که از يک نقطه خارج يک خط اصلا نتوان خطي به موازات آن رسم کرد هندسه ي اقليدسي فضايي را مفروض مي گيرد که هيچ گونه خميگي و انحنا ندارد، اما نظام هاي هندسي لباچفسکي و ريماني اين خميدگي را مفروض مي گيرند.(مانند سطح يک کره) همچنين در هندسه ي نااقليدسي جمع زواياي مثلث برابر با درجه نيست. (در هندسه اقليدسي درجه در لباچفسکي کمتر و در ريماني بيشتر از آن است.)

هندسه ي هذلولي Hyperbolic Geometry از کلمه ي يوناني هيپر بالئين به معني افزايش يافتن است که در آن فاصله ي ميان نيم خط ها در اصل توازي افزايش مي يابد و هندسه ي بيضوي Eltipic Geometry از کلمه ي يوناني ايپيلن به معني کوتاه شدن است که در آن فاصله رفته رفته کم مي شود و سر انجام نيم خط ها رفته رفته کم مي شود و سرانجام نيم خط ها يکديگر را مي برند. بويويي و لباچفسکي سازگاري هندسه اي را که ارائه دادند را ثابت نکردند در واقع در بولترامي در مقاله اي الگوي دو بعدي در فضاي سه بعدي اقليدسي براي اثبات سازگاري هندسه ي هذلولي ارائه داد. بلترامي نشان داد که چگونه ميتوان اين هندسه را با محدوديت هايي بر روي يک سطح اقليدسي با انحناي پايا نمايش داد و در نتيجه چگونه هر ناسازگاري که در هندسه بويايي و لباچفسکي کشف گرديده بر ناسازگاري متناظري از هندسه ي اقليدسي کشانيده مي شود. دانشمندان بعدي نيز پيشرفت هايي را در اين زمينه بوجود آوردند، دانشمنداني نظير: کيلي، کلاين، و کليفرد. کيلي در رساله ي ششم درباره ي کوانتيکهاي مهم خود نشان داد چگونه مفهوم فاصله مي تواند بر اصل هاي توصيف محض بنا شود و کلاين در ،


با ارايه ي تعريف مناسب از فاصله اين انديشه ها را بسط داد و از ديدگاه هندسه ي نااقليدسي تعبير کرد. او بود که پيشنهاد کرد که هندسه ي بويايي و لباچفسکي و هندسه ي ريمان و هندسه ي اقليدس بترتيب هذلولي، بيضوي و سهوي ناميده شود، اين اصطلاحات قبول عام يافتند. کار اقليدس بعدها توسط رياضيدانان دقيق و تصحيح شد که يکي از بهترين آن ها کار هيلبرت بود که با ارائه ي اصل موضوع براي وقوع، اصل براي نسبيت، اصل براي قابليت انطباق، اصل پيوستگي، اصل ارشميدس و اصل توازي به نتقيح کار اقليدس پرداخت. شايد تا اينجا اين سوال براي شما پيش آمده باشد که کدام يک از سه هندسه راستين است؟ يا به عبارتي ديگر کدام هندسه عملا فضاي مادي ما را توصيف مي کند؟ ما در جواب به اين سوال به اين سخن از کايزر قناعت مي کنيم و مقاله ي خود را با آن به پايان مي رسانيم: «سه هندسه از حيث استواري، سازگاري دروني، سازش پذيري داخلي، و مطابقت منطقي بين اجزاي خود در يک سطحند، و اين بالاترين سطحي است که آدمي بدان دست يافته است. هر سه آيين فرزندان خلف يک گوهرند: گوهر هندسه پردازي که افلاطون آن را خدايي دانسته است و هر سه جاويدانند. کاري که خداي هماهنگي فکري آن را الهام و تاييد کرده است از ميان نمي تواند رفت، و زنده جاويدان است